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- [1 前缀树结构(trie)、桶排序、排序总结](#1) * [1.1 前缀树结构](#11) * [1.2 不基于比较的排序-桶排序](#12) + [1.2.1 计数排序](#121) + [1.2.2 基数排序](#122) * [1.3 排序算法的稳定性](#13) + [1.3.1 稳定的排序](#131) + [1.3.2 不稳定的排序](#132) + [1.3.3 排序稳定性对比](#133) * [1.4 排序算法总结](#14) * [1.5 排序常见的坑点](#15) * [1.6 工程上对排序的改进](#16)

1 前缀树结构(trie)、桶排序、排序总结

1.1 前缀树结构

> > 单个字符串中，字符从前到后的加到一颗多叉树上 > 字符放在路上，节点上有专属的数据项(常见的是pass和end值) > 所有样本都这样添加。如果没有路就新建，如果有路就复用 > 沿途节点的pass值增加1.每个字符串结束时来到的节点end值增加1 > 一个字符串数组中，所有字符串的字符数为N,整个数组加入前缀树种的代价是O(N) 功能一：构建好前缀树之后，我们查询某个字符串在不在前缀树中，某字符串在这颗前缀树中出现了几次都是特别方便的。例如找"ab"在前缀树中存在几次，可以先看有无走向a字符的路径(如果没有，直接不存在)，再看走向b字符的路径，此时检查该节点的end标记的值，如果为0，则前缀树中不存在"ab"字符串，如果e>0则，e等于几则"ab"在前缀树种出现了几次 功能二：如果单单是功能一，那么哈希表也可以实现。现查询所有加入到前缀树的字符串，有多少个以"a"字符作为前缀，来到"a"的路径，查看p值大小，就是以"a"作为前缀的字符串数量 ```Java package class05; import java.util.HashMap; // 该程序完全正确 public class Code02_TrieTree { public static class Node1 { // pass表示字符从该节点的路径通过 public int pass; // end表示该字符到此节点结束 public int end; public Node1[] nexts; public Node1() { pass = 0; end = 0; // 每个节点下默认26条路，分别是a~z // 0 a // 1 b // 2 c // .. .. // 25 z // nexts[i] == null i方向的路不存在 // nexts[i] != null i方向的路存在 nexts = new Node1[26]; } } public static class Trie1 { // 默认只留出头节点 private Node1 root; public Trie1() { root = new Node1(); } // 往该前缀树中添加字符串 public void insert(String word) { if (word == null) { return; } char[] str = word.toCharArray(); // 初始引用指向头节点 Node1 node = root; // 头结点的pass首先++ node.pass++; // 路径的下标 int path = 0; for (int i = 0; i < str.length; i++) { // 从左往右遍历字符 // 当前字符减去'a'的ascii码得到需要添加的下个节点下标 path = str[i] - 'a'; // 由字符，对应成走向哪条路 // 当前方向上没有建立节点，即一开始不存在这条路，新开辟 if (node.nexts[path] == null) { node.nexts[path] = new Node1(); } // 引用指向当前来到的节点 node = node.nexts[path]; // 当前节点的pass++ node.pass++; } // 当新加的字符串所有字符处理结束，最后引用指向的当前节点就是该字符串的结尾节点，end++ node.end++; } // 删除该前缀树的某个字符串 public void delete(String word) { // 首先要查一下该字符串是否加入过 if (search(word) != 0) { // 沿途pass-- char[] chs = word.toCharArray(); Node1 node = root; node.pass--; int path = 0; for (int i = 0; i < chs.length; i++) { path = chs[i] - 'a'; // 在寻找的过程中，pass为0，提前可以得知在本次删除之后，该节点以下的路径不再需要，可以直接删除。 // 那么该节点之下下个方向的节点引用置为空（JVM垃圾回收，相当于该节点下的路径被删了） if (--node.nexts[path].pass == 0) { node.nexts[path] = null; return; } node = node.nexts[path]; } // 最后end-- node.end--; } } // 在该前缀树中查找 // word这个单词之前加入过几次 public int search(String word) { if (word == null) { return 0; } char[] chs = word.toCharArray(); Node1 node = root; int index = 0; for (int i = 0; i < chs.length; i++) { index = chs[i] - 'a'; // 寻找该字符串的路径中如果提前找不到path，就是未加入过，0次 if (node.nexts[index] == null) { return 0; } node = node.nexts[index]; } // 如果顺利把word字符串在前缀树中走完路径，那么此时的node对应的end值就是当前word在该前缀树中添加了几次 return node.end; } // 所有加入的字符串中，有几个是以pre这个字符串作为前缀的 public int prefixNumber(String pre) { if (pre == null) { return 0; } char[] chs = pre.toCharArray(); Node1 node = root; int index = 0; for (int i = 0; i < chs.length; i++) { index = chs[i] - 'a'; // 走不到最后，就没有 if (node.nexts[index] == null) { return 0; } node = node.nexts[index]; } // 顺利走到最后，返回的pass就是有多少个字符串以当前pre为前缀的 return node.pass; } } /** * 实现方式二,针对各种字符串，路径不仅仅是a~z对应的26个，用HashMap表示ascii码值对应的node。 **/ public static class Node2 { public int pass; public int end; public HashMap nexts; public Node2() { pass = 0; end = 0; nexts = new HashMap<>(); } } public static class Trie2 { private Node2 root; public Trie2() { root = new Node2(); } public void insert(String word) { if (word == null) { return; } char[] chs = word.toCharArray(); Node2 node = root; node.pass++; int index = 0; for (int i = 0; i < chs.length; i++) { index = (int) chs[i]; if (!node.nexts.containsKey(index)) { node.nexts.put(index, new Node2()); } node = node.nexts.get(index); node.pass++; } node.end++; } public void delete(String word) { if (search(word) != 0) { char[] chs = word.toCharArray(); Node2 node = root; node.pass--; int index = 0; for (int i = 0; i < chs.length; i++) { index = (int) chs[i]; if (--node.nexts.get(index).pass == 0) { node.nexts.remove(index); return; } node = node.nexts.get(index); } node.end--; } } // word这个单词之前加入过几次 public int search(String word) { if (word == null) { return 0; } char[] chs = word.toCharArray(); Node2 node = root; int index = 0; for (int i = 0; i < chs.length; i++) { index = (int) chs[i]; if (!node.nexts.containsKey(index)) { return 0; } node = node.nexts.get(index); } return node.end; } // 所有加入的字符串中，有几个是以pre这个字符串作为前缀的 public int prefixNumber(String pre) { if (pre == null) { return 0; } char[] chs = pre.toCharArray(); Node2 node = root; int index = 0; for (int i = 0; i < chs.length; i++) { index = (int) chs[i]; if (!node.nexts.containsKey(index)) { return 0; } node = node.nexts.get(index); } return node.pass; } } /** * 不用前缀树，纯暴力的组织，用来做对数器 **/ public static class Right { private HashMap box; public Right() { box = new HashMap<>(); } public void insert(String word) { if (!box.containsKey(word)) { box.put(word, 1); } else { box.put(word, box.get(word) + 1); } } public void delete(String word) { if (box.containsKey(word)) { if (box.get(word) == 1) { box.remove(word); } else { box.put(word, box.get(word) - 1); } } } public int search(String word) { if (!box.containsKey(word)) { return 0; } else { return box.get(word); } } public int prefixNumber(String pre) { int count = 0; for (String cur : box.keySet()) { if (cur.startsWith(pre)) { count += box.get(cur); } } return count; } } // for test public static String generateRandomString(int strLen) { char[] ans = new char[(int) (Math.random() * strLen) + 1]; for (int i = 0; i < ans.length; i++) { int value = (int) (Math.random() * 6); ans[i] = (char) (97 + value); } return String.valueOf(ans); } // for test public static String[] generateRandomStringArray(int arrLen, int strLen) { String[] ans = new String[(int) (Math.random() * arrLen) + 1]; for (int i = 0; i < ans.length; i++) { ans[i] = generateRandomString(strLen); } return ans; } public static void main(String[] args) { int arrLen = 100; int strLen = 20; int testTimes = 100000; for (int i = 0; i < testTimes; i++) { String[] arr = generateRandomStringArray(arrLen, strLen); Trie1 trie1 = new Trie1(); Trie2 trie2 = new Trie2(); Right right = new Right(); for (int j = 0; j < arr.length; j++) { double decide = Math.random(); if (decide < 0.25) { trie1.insert(arr[j]); trie2.insert(arr[j]); right.insert(arr[j]); } else if (decide < 0.5) { trie1.delete(arr[j]); trie2.delete(arr[j]); right.delete(arr[j]); } else if (decide < 0.75) { int ans1 = trie1.search(arr[j]); int ans2 = trie2.search(arr[j]); int ans3 = right.search(arr[j]); if (ans1 != ans2 || ans2 != ans3) { System.out.println("Oops!"); } } else { int ans1 = trie1.prefixNumber(arr[j]); int ans2 = trie2.prefixNumber(arr[j]); int ans3 = right.prefixNumber(arr[j]); if (ans1 != ans2 || ans2 != ans3) { System.out.println("Oops!"); } } } } System.out.println("finish!"); } } ```

1.2 不基于比较的排序-桶排序

> > 例如：一个代表员工年龄的数组，排序。数据范围有限，对每个年龄做词频统计。arr[0~200] = 0,M=200 > 空间换时间

1.2.1 计数排序

> ```text 桶排序思想下的排序：计数排序 & 基数排序 1、 桶排序思想下的排序都是不基于比较的排序 2、 时间复杂度为O(N),二维空间复杂复杂度为O(M) 3、 应用范围有限，需要样本的数据状况满足桶的划分 ``` > 缺点：与样本数据状况强相关。

1.2.2 基数排序

> > 应用条件：十进制数据，非负 ```text [100,17,29,13,5,27] 进行排序 => 1、找最高位的那个数的长度，这里100的长度为3，其他数前补0，得出 [100,017,029,013,005,027] 2、 准备10个桶，对应的数字0~9号桶，每个桶是一个队列。根据样本按个位数字对应进桶，相同个位数字进入队列，再从0号桶以此倒出，队列先进先出。个位进桶再依次倒出，得出： [100,013,005,017,027,029] 3、 再把按照个位进桶倒出的样本，再按十位进桶，再按相同规则倒出得： [100,005,013,017,027,029] 4、再把得到的样本按百位进桶，倒出得： [005,013,017,027,029,100] 此时达到有序！ ``` > 思想：先按各位数字排序，各位数字排好序，再用十位数字的顺序去调整，再按百位次序调整。优先级依次递增，百位优先级最高，百位优先级一样默认按照上一层十位的顺序... ==结论：基于比较的排序，时间复杂度的极限就是O(NlogN)，而不基于比较的排序，时间复杂度可以达到O(N)。在面试或刷题，估算排序的时间复杂度的时候，必须用基于比较的排序来估算== ```Java /** * 计数排序 **/ package class05; import java.util.Arrays; public class Code03_CountSort { // 计数排序 // only for 0~200 value public static void countSort(int[] arr) { if (arr == null || arr.length < 2) { return; } int max = Integer.MIN_VALUE; for (int i = 0; i < arr.length; i++) { max = Math.max(max, arr[i]); } int[] bucket = new int[max + 1]; for (int i = 0; i < arr.length; i++) { bucket[arr[i]]++; } int i = 0; for (int j = 0; j < bucket.length; j++) { while (bucket[j]-- > 0) { arr[i++] = j; } } } // for test public static void comparator(int[] arr) { Arrays.sort(arr); } // for test public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) { int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())]; for (int i = 0; i < arr.length; i++) { arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()); } return arr; } // for test public static int[] copyArray(int[] arr) { if (arr == null) { return null; } int[] res = new int[arr.length]; for (int i = 0; i < arr.length; i++) { res[i] = arr[i]; } return res; } // for test public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) { if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) { return false; } if (arr1 == null && arr2 == null) { return true; } if (arr1.length != arr2.length) { return false; } for (int i = 0; i < arr1.length; i++) { if (arr1[i] != arr2[i]) { return false; } } return true; } // for test public static void printArray(int[] arr) { if (arr == null) { return; } for (int i = 0; i < arr.length; i++) { System.out.print(arr[i] + " "); } System.out.println(); } // for test public static void main(String[] args) { int testTime = 500000; int maxSize = 100; int maxValue = 150; boolean succeed = true; for (int i = 0; i < testTime; i++) { int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue); int[] arr2 = copyArray(arr1); countSort(arr1); comparator(arr2); if (!isEqual(arr1, arr2)) { succeed = false; printArray(arr1); printArray(arr2); break; } } System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!"); int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue); printArray(arr); countSort(arr); printArray(arr); } } ``` > 下面代码的思想： > 例如原数组[101,003,202,41,302]。得到按个位的词频conut数组为[0,2,2,1,0,0,0,0,0,0]。通过conut词频累加得到conut'为[0,2,4,5,5,5,5,5,5,5],此时conut'的含义表示个位数字小于等于0的数字有0个，个位数字小于等于1的有两个，个位数字小于等于2的有4个...... > 得到conut'之后，对原数组[101,003,202,41,302]从右往左遍历。根据基数排序的思想，302应该是2号桶最后被倒出的，我们已经知道个位数字小于等于2的有4个，那么302就是4个中的最后一个，放在help数组的3号位置,相应的conut'小于等于2位置的词频减减变为3。同理，41是1号桶的最后一个，个位数字小于等于1的数字有两个，那么41需要放在1号位置，小于等于1位置的词频减减变为1，同理...... > 实质增加conut和count'结构，避免申请十个队列结构，不想炫技直接申请10个队列结构，按基数排序思想直接做没问题 > 实质上，基数排序的时间复杂度是O(Nlog10max(N)),log10N表示十进制的数的位数，但是我们认为基数排序的应用样本范围不大。如果要排任意位数的值，严格上就是O(Nlog10max(N)) ```Java /** * 基数排序 **/ package class05; import java.util.Arrays; public class Code04_RadixSort { // 非负数，十进制，如果负数需要深度改写这个方法 // only for no-negative value public static void radixSort(int[] arr) { if (arr == null || arr.length < 2) { return; } radixSort(arr, 0, arr.length - 1, maxbits(arr)); } // 计算数组样本中最大值的位数 public static int maxbits(int[] arr) { int max = Integer.MIN_VALUE; for (int i = 0; i < arr.length; i++) { max = Math.max(max, arr[i]); } int res = 0; while (max != 0) { res++; max /= 10; } return res; } // arr[l..r]排序 , digit：最大值的位数 // l..r [3, 56, 17, 100] 3 public static void radixSort(int[] arr, int L, int R, int digit) { // 由于十进制的数，我们依10位基底 final int radix = 10; int i = 0, j = 0; // 有多少个数准备多少个辅助空间 int[] help = new int[R - L + 1]; for (int d = 1; d <= digit; d++) { // 有多少位就进出几次 // 10个空间 // count[0] 当前位(d位)是0的数字有多少个 // count[1] 当前位(d位)是(0和1)的数字有多少个 // count[2] 当前位(d位)是(0、1和2)的数字有多少个 // count[i] 当前位(d位)是(0~i)的数字有多少个 int[] count = new int[radix]; // count[0..9] for (i = L; i <= R; i++) { // 103的话 d是1表示个位 取出j=3 // 209 1 9 j = getDigit(arr[i], d); count[j]++; } // conut往conut'的转化 for (i = 1; i < radix; i++) { count[i] = count[i] + count[i - 1]; } // i从最后位置往前看 for (i = R; i >= L; i--) { j = getDigit(arr[i], d); help[count[j] - 1] = arr[i]; // 词频-- count[j]--; } // 处理完个位十位...之后都要往原数组copy for (i = L, j = 0; i <= R; i++, j++) { arr[i] = help[j]; } } } public static int getDigit(int x, int d) { return ((x / ((int) Math.pow(10, d - 1))) % 10); } // for test public static void comparator(int[] arr) { Arrays.sort(arr); } // for test public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) { int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())]; for (int i = 0; i < arr.length; i++) { arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()); } return arr; } // for test public static int[] copyArray(int[] arr) { if (arr == null) { return null; } int[] res = new int[arr.length]; for (int i = 0; i < arr.length; i++) { res[i] = arr[i]; } return res; } // for test public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) { if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) { return false; } if (arr1 == null && arr2 == null) { return true; } if (arr1.length != arr2.length) { return false; } for (int i = 0; i < arr1.length; i++) { if (arr1[i] != arr2[i]) { return false; } } return true; } // for test public static void printArray(int[] arr) { if (arr == null) { return; } for (int i = 0; i < arr.length; i++) { System.out.print(arr[i] + " "); } System.out.println(); } // for test public static void main(String[] args) { int testTime = 500000; int maxSize = 100; int maxValue = 100000; boolean succeed = true; for (int i = 0; i < testTime; i++) { int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue); int[] arr2 = copyArray(arr1); radixSort(arr1); comparator(arr2); if (!isEqual(arr1, arr2)) { succeed = false; printArray(arr1); printArray(arr2); break; } } System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!"); int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue); printArray(arr); radixSort(arr); printArray(arr); } } ```

1.3 排序算法的稳定性

> > 稳定性是指同样大小的样本在排序之后不会改变相对次序。基础类型稳定性没意义，用处是按引用传递后是否稳定。比如学生有班级和年龄两个属性，先按班级排序，再按年龄排序，那么如果是稳定性的排序，不会破坏之前已经按班级拍好的顺序 > 稳定性排序的应用场景：购物时候，先按价格排序商品，再按好评度排序，那么好评度实在价格排好序的基础上。反之不稳定排序会破坏一开始按照价格排好的次序

1.3.1 稳定的排序

> 1、 冒泡排序（处理相等时不交换） 2、 插入排序（相等不交换） 3、 归并排序（merge时候，相等先copy左边的）

1.3.2 不稳定的排序

> 1、 选择排序 2、 快速排序 （partion过程无法保证稳定） 3、 堆排序 （维持堆结构）

1.3.3 排序稳定性对比

> 排序 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 稳定性 ---|---|---|--- 选择排序 | O(N^2) | O(1) | 无 冒泡排序 | O(N^2) | O(1) | 有 插入排序 | O(N^2) | O(1) | 有 归并排序 | O(NlogN) | O(N) | 有 随机快拍 | O(NlogN) | O(logN) | 无 堆排序 | O(NlogN) | O(1) | 无 计数排序 | O(N) | O(M) | 有 堆排序 | O(N) | O(N) | 有

1.4 排序算法总结

> 1. 不基于比较的排序，对样本数据有严格要求，不易改写 2. 基于比较的排序，只要规定好两个样本怎么比较大小就可以直接复用 3. 基于比较的排序，时间复杂度的极限是O(NlogN) 4. 时间复杂度O(NlogN)、额外空间复杂度低于O(N)，且稳定的基于比较的排序是不存在的 5. 为了绝对的速度选择快排（快排的常数时间低），为了节省空间选择堆排序，为了稳定性选归并

1.5 排序常见的坑点

> > 归并排序的额为空间复杂度可以变为O(1)。“归并排序内部缓存法”，但是将会变的不稳定。不考虑稳定不如直接选择堆排序 > “原地归并排序”是垃圾帖子，会让时间复杂度变成O(N ^2)。时间复杂度退到O(N ^2)不如直接选择插入排序 > 快速排序稳定性改进，“01 stable sort”，但是会对样本数据要求更多。对数据进行限制，不如选择桶排序 > 在整形数组中，请把奇数放在数组左边，偶数放在数组右边，要求所有奇数之间原始次序不变，所有偶数之间原始次序不变。要求时间复杂度O(N),额为空间复杂度O(1)。这是个01标准的partion，奇偶规则，但是快速排序的partion过程做不到稳定性。所以正常实现不了，学术论文(01 stable sort,不建议碰，比较难)中需要把数据阉割限制之后才能做到

1.6 工程上对排序的改进

> > 稳定性考虑：值传递，直接快排，引用传递，归并排序 > 充分利用O(NlogN)和O(N^2)排序各自的优势：根据样本量底层基于多种排序实现，比如样本量比较小直接选择插入排序。 > 比如Java中系统实现的快速排序